Question

設(shè)f（x）=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N⁺）．
（1）求x₂，x₃，x₄，x₅的值；  
（2）歸納{x_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用f（x）=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1），代入計(jì)算，可得x₂，x₃，x₄，x₅的值；  
（2）歸納{x_n}的通項(xiàng)公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題時(shí)分為兩個(gè)步驟，第一步，先證明當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，已知結(jié)論成立，第二步，先假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)結(jié)合題設(shè)條件證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2x

x+2

，x₁=1，
∴x₂=f（x₁）=

2

3

，x₃=f（x₂）=

2

4

，x₄=f（x₃）=

2

5

，x₅=f（x₄）=

2

6

；
（2）猜想x_n=

2

n+1

，
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=1時(shí)，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即x_k=

2

k+1

，則
x_k+1=

2xk

xk+2

=

2

(k+1)+1

所以，當(dāng)n=k+1時(shí)公式也成立．…（11分）
由①②知，x_n=

2

n+1

成立．….12

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查考查了數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：
設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基）
2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對(duì)一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立