Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x+

1

a

|+|x-a|（a＞0）．
（Ⅰ）證明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+

1

a

|+|x-a|，利用絕對(duì)值三角不等式、基本不等式證得f（x）≥2成立．
（Ⅱ）由f（3）=|3+

1

a

|+|3-a|＜5，分當(dāng)a＞3時(shí)和當(dāng)0＜a≤3時(shí)兩種情況，分別去掉絕對(duì)值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵a＞0，f（x）=|x+

1

a

|+|x-a|≥|（x+

1

a

）-（x-a）|=|a+

1

a

|=a+

1

a

≥2

a• 1 a

=2，
故不等式f（x）≥2成立．
（Ⅱ）∵f（3）=|3+

1

a

|+|3-a|＜5，
∴當(dāng)a＞3時(shí)，不等式即a+

1

a

＜5，即a²-5a+1＜0，解得3＜a＜

5+ 21

2

．
當(dāng)0＜a≤3時(shí)，不等式即 6-a+

1

a

＜5，即 a²-a-1＞0，求得

1+ 5

2

＜a≤3．
綜上可得，a的取值范圍（

1+ 5

2

，

5+ 21

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值三角不等式，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．