Question

在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD為菱形，O為A₁C₁
與B₁D₁交點，已知AA₁=AB=1，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求證：A₁C₁⊥平面B₁BDD₁；
（Ⅱ）求證：AO∥平面BC₁D；
（Ⅲ）設(shè)點M在△BC₁D內(nèi)（含邊界），且OM⊥B₁D₁，說明滿足條件的點M的軌跡，并求OM的最小值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明出BB₁⊥A₁C₁．進而根據(jù)菱形的性質(zhì)證明出A₁C₁⊥B₁D₁．最后根據(jù)線面垂直的判定定理證明出A₁C₁⊥平面B₁BDD₁．
（Ⅱ）連接AC，交BD于點E，連接C₁E．先證明OC₁∥AE和OC₁=AE，推斷出AOC₁E為平行四邊形，進而推斷AO∥C₁E，最后利用線面平行的判定定理證明出AO∥平面BC₁D．
（Ⅲ）先由E為BD中點，推斷出BD⊥C₁E，進而根據(jù)C₁D=C₁B，推斷出ME⊥BD，進而根據(jù)OM⊥BD，推斷出BD∥B₁D₁．直角三角形OC₁E中利用射影定理求得OM．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，因為四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，
所以BB₁⊥底面A₁B₁C₁D₁．
又A₁C₁?底面A₁B₁C₁D₁，
所以BB₁⊥A₁C₁．
因為A₁B₁C₁D₁為菱形，
所以A₁C₁⊥B₁D₁．而BB₁∩B₁D₁=B₁，
所以A₁C₁⊥平面B₁BDD₁．
（Ⅱ）連接AC，交BD于點E，連接C₁E．
依題意，AA₁∥CC₁，
且AA₁=CC₁，AA₁⊥AC，
所以A₁ACC₁為矩形．
所以O(shè)C₁∥AE．
又OC1=

1

2

A1C1，AE=

1

2

AC，A₁C₁=AC，
所以O(shè)C₁=AE，所以AOC₁E為平行四邊形，
則AO∥C₁E．
又AO?平面BC₁D，C₁E?平面BC₁D，
所以AO∥平面BC₁D．
（Ⅲ）在△BC₁D內(nèi)，滿足OM⊥B₁D₁的點M的軌跡是線段C₁E，包括端點．
分析如下：連接OE，則BD⊥OE．
由于BD∥B₁D₁，故欲使OM⊥B₁D₁，只需OM⊥BD，從而需ME⊥BD．
又在△BC₁D中，C₁D=C₁B，又E為BD中點，所以BD⊥C₁E．
故M點一定在線段C₁E上．
當OM⊥C₁E時，OM取最小值．
在直角三角形OC₁E中，OE=1，OC1=

3

2

，C1E=

7

2

，
所以OMmin=

OC1•OE

C1E

=

21

7

．

點評：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的應(yīng)用．考查了學生基礎(chǔ)知識的綜合運用．