Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP，M為PB的中點，N在BC上，且AN=

1

3

BC．
（Ⅰ）求證：MN⊥AB；
（Ⅱ）求二面角M-AN-P的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出△NBA∽△ABC，取AB中點Q，連接MQ、NQ，推導出AB⊥平面MNQ，由此能證明AB⊥MN．
（Ⅱ）以A為坐標原點，

AN

的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M-AN-P的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：設AB=AC=AP=1，又∠BAC=120°，
∴在△ABC中，BC²=1+1-2×1×1×cos120°=3，
∴BC=

3

，
則BN=

1

3

BC=

3

3

，…（1分）
∴

AB

BC

=

BN

AB

，又∠ABC=∠NBA，∴△NBA∽△ABC，
且△NBA也為等腰三角形．…（3分）
取AB中點Q，連接MQ、NQ，∴NQ⊥AB，MQ∥PAQ，
∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，∴MQ⊥AB，…（5分）
∴AB⊥平面MNQ，
又MN?平面MNQ
∴AB⊥MN…（6分）
（Ⅱ）解：∠BAN=30°，則∠NAC=120°-30°=90°，
以A為坐標原點，

AN

的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系
A（0，0，0），P（0，0，1），C（0，1，0），M（

3

4

，-

1

4

，

1

2

），N（

3

3

，0，0），
面PAN的法向量為

AC

=(0，1，0)，…（8分）
設面ANM的法向量為

n

=(x，y，z)，
∵

AM

=（

3

4

，-

1

4

，

1

2

），

AN

=（

3

3

，0，0），
∴

n • AM = 3 4 x- 1 4 y+ 1 2 z=0 n • AN = 3 3 x=0

，
取y=2，得

n

=(0，2，1)，…（10分）
∴cos＜

m

，

AC

＞=

2

5

=

2 5

5

，
∴二面角M-AN-P的余弦值為

2 5

5

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．