Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠CAA₁=∠A₁AB=∠BAC=90°，AB=AA₁=1，AC=2．
（1）求證：A₁B⊥平面AB₁C；
（2）求直線B₁C與平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明A₁B⊥平面AB₁C，利用線面垂直的判定，證明A₁B垂直于平面AB₁C中兩條相交直線即可；
（2）連接A₁C，證明∠B₁CA₁是直線B₁C與平面ACC₁A₁所成角，再求直線B₁C與平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

解答： （1）證明：∵∠CAA₁=∠BAC=90°，
∴CA⊥AA₁，CA⊥AB，
∵A₁A∩AB=A，
∴CA⊥平面A₁B₁BA，
∵A₁B?平面A₁B₁BA，
∴CA⊥A₁B，
∵四邊形A₁B₁BA為正方形，
∴A₁B⊥AB₁，
∵AC∩AB₁=A，
∴A₁B⊥平面AB₁C；
（2）解：連接A₁C，則B₁A₁⊥AA₁，B₁A₁⊥AC，
∵AA₁∩AC=A，
∴B₁A₁⊥平面ACC₁A₁，
∴∠B₁CA₁是直線B₁C與平面ACC₁A₁所成角．
在矩形ACC₁A₁中，AA₁=1，AC=2，∴A₁C=

5

，
∵A₁B₁=AB=1，
∴在Rt△A₁B₁C中，CB₁=

6

，
∴sin∠B₁CA₁=

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．