Question

已知函數(shù)f（x）=（m+1）x³+（m+2）x²+n為定義在R上的奇函數(shù)（m，n為常數(shù)）．
（1）求m，n的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）由奇函數(shù)的定義得f（-x）=-f（x），從而求出m，n的值，
（2）通過求導(dǎo)得出f′（x）＜0，從而求出函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（-x）=-f（x），
而f（-x）=-（m+1）x³+（m+2）x²+n，
-f（x）=-（m+1）x³-（m+2）x²-n，
∴m+2=0，n=0，
∴m=-2，n=0；
（2）由（1）得：
f（x）=-x³，
∴f'（x）=-3x²≤0恒成立
∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．