Question

17．（1）若x＞0時，a，b∈[0，+∞），求f（x）=ax+$\frac{x}$的最小值；
（2）若x＜0，a，b∈[0，+∞），求f（x）=ax+$\frac{x}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）當x＞0時，直接由基本不等式可得f（x）=ax+$\frac{x}$≥2$\sqrt{ax•\frac{x}}$=2$\sqrt{ab}$，求出等號成立的條件即可；
（2）當x＜0時，變形可得f（x）=-（-ax-$\frac{x}$）≤-2$\sqrt{ax•\frac{x}}$=-2$\sqrt{ab}$，求出等號成立的條件即可．

解答 解：（1）當x＞0時，a，b∈[0，+∞），
f（x）=ax+$\frac{x}$≥2$\sqrt{ax•\frac{x}}$=2$\sqrt{ab}$，
當且僅當ax=$\frac{x}$即x=$\frac{\sqrt{ab}}{a}$時取等號，
∴f（x）=ax+$\frac{x}$的最小值為2$\sqrt{ab}$，；
（2）當x＜0，a，b∈[0，+∞），
f（x）=-（-ax-$\frac{x}$）≤-2$\sqrt{ax•\frac{x}}$=-2$\sqrt{ab}$，
當且僅當-ax=-$\frac{x}$即x=-$\frac{\sqrt{ab}}{a}$時取等號，
∴f（x）=ax+$\frac{x}$的最大值為-2$\sqrt{ab}$．

點評 本題考查基本不等式求最值，注意等號成立的條件是解決問題的關鍵，屬基礎題．