Question

9．求所有的m∈R，使得mx²+8（m-1）x+7m-16≤0至多有6個整數(shù)解，且其中有一個為2．

Answer 1

分析 通過討論m的范圍，結(jié)合函數(shù)的解的個數(shù)從而求出m的范圍．

解答 解：令f（x）=mx²+8（m-1）x+7m-16，
由f（2）≤0⇒m≤$\frac{32}{27}$，又f（-1）=-8＜0，
∴-1也是f（x）≤0的整數(shù)解，
此時不等式已有4個解：-1，0，1，2；
若m≤0，則3，4，5也是f（x）≤0的解，與題目要求不符；
故m＞0，此時，f（-2）=-5m＜0也為不等式的解，
又f（-3）=-8（m-1），f（3）=40（m-1），
當(dāng)m=1時，3與-3均為不等式的解，不合題意；
當(dāng)m∈（0，1）時，f（-3）＞0，f（3）＜0，
f（4）應(yīng)大于0，有f（4）=16m+32m-32+7m-16＞0⇒m＞$\frac{48}{55}$，
當(dāng)m∈（1，$\frac{32}{27}$]時，f（3）＞0，f（-3）＜0，f（-4）應(yīng)大于0，
有f（-4）=-9m+16＞0⇒m＜$\frac{16}{9}$，而$\frac{32}{27}$＜$\frac{16}{9}$，
綜上所述，有m∈（$\frac{48}{55}$，1）∪（1，$\frac{32}{27}$]．

點評 本題考查了一元二次不等式的解法，考查不等式的解的情況，分類討論思想，是一道中檔題．