Question

如圖在△ABC的長邊AB上取AN=AC，BM=BC，點I為三角形ABC的內(nèi)心 求證：
（1）點I是△MNC的外心；
（2）∠MIN=∠ABC+∠BAC．

Answer 1

考點：圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)題意，可證△MBI≌△CBI，則MI=CI；同理，可證NI=CI，所以MI=NI=CI，因此點I是△MNC的外心；
（2）首先根據(jù)△MBI≌△CBI，可得∠BMI=∠BCI，同理，可得∠ANI=∠ACI，又因為∠MIN+∠BMI+∠ANI=180°，∠ABC+∠BAC+∠ACI+∠BCI=180°，所以∠MIN=∠ABC+∠BAC．

解答： 證明：（1）如圖，∵點I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠MBI=∠CBI，BM=MC，BI=BI，
∴△MBI≌△CBI，
則MI=CI；
同理，可證NI=CI，
所以MI=NI=CI，
因此點I是△MNC的外心；
（2）因為△MBI≌△CBI，
所以∠BMI=∠BCI，
同理，可得∠ANI=∠ACI，
又因為∠MIN+∠BMI+∠ANI=180°，
∠ABC+∠BAC+∠ACI+∠BCI=180°，
所以∠MIN=∠ABC+∠BAC．

點評：本題主要考查了三角形外接圓的判定，考查了三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，以及三角形全等的判定，屬于中檔題，解答此題的關(guān)鍵是正確區(qū)分三角形的內(nèi)外心．