Question

給出以下命題：
①?x∈R，有x⁴＞x²；
②?α∈R，使得sin3α=3sinα；
③?a∈R，對(duì)?x∈R，使x²+2x+a＜0．
其中正確的有（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題

分析：①中，利用作差法，設(shè)y=x⁴-x²（x∈R），判定y的正負(fù)，判定命題①錯(cuò)誤；
②中，舉例說(shuō)明命題②正確；
③中，由二次函數(shù)y=x²+2x+a的圖象與性質(zhì)判定命題③錯(cuò)誤．

解答： 解：對(duì)于①，設(shè)y=x⁴-x²（x∈R），∴y=x²（x+1）（x-1）；
當(dāng)x=0，或±1時(shí)，y=0，x⁴=x²；
當(dāng)x＜-1，或x＞1時(shí)，y＞0，x⁴＞x²；
當(dāng)-1＜x＜0，或0＜x＜1時(shí)，y＜0，x⁴＜x²；∴命題①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，當(dāng)α=kπ（k∈Z），sin3α=3sinα=0，∴命題②正確；
對(duì)于③，∵二次函數(shù)y=x²+2x+a的圖象是拋物線，且開(kāi)口向上，
∴不存在a∈R，對(duì)?x∈R，使x²+2x+a＜0，∴命題③錯(cuò)誤．
綜上，正確的命題是②．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)命題真假的判定，考查了作差法比較大小，三角函數(shù)的恒等變換，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及一元二次不等式的解法問(wèn)題，是綜合題目．