Question

拋物線x²=4y的準(zhǔn)線l與y軸交于點(diǎn)P，若直線l繞點(diǎn)P以每秒

π

12

弧度的角速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)t秒鐘后，恰與拋物線第一次相切，則t=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)拋物線的方程，找出p的值，進(jìn)而得到其準(zhǔn)線方程和P的坐標(biāo)，根據(jù)直線l過P點(diǎn)，設(shè)出直線l的斜率為k時(shí)與拋物線相切，表示出此時(shí)直線l的方程，與拋物線聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，令根的判別式等于0列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，從而確定出直線l的傾斜角，用求出的傾斜角除以角速度即可求出此時(shí)所用的時(shí)間t．

解答： 解：根據(jù)拋物線的方程x²=4y，得到p=1，
所以此拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-1，P坐標(biāo)為（0，-1），
令恒過P點(diǎn)的直線y=kx-1與拋物線相切，
聯(lián)立直線與拋物線，消去y得：x²-4kx+4=0，得到△=16k²-16=0，即k²=1，
解得：k=1或k=-1，
由直線l繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，k=-1不合題意，舍去，
則k=1，此時(shí)直線的傾斜角為

π

4

，又P的角速度為每秒

π

12

弧度，
所以直線l恰與拋物線第一次相切，則t=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評：本題以拋物線為載體，考查拋物線的簡單性質(zhì)，恒過定點(diǎn)的直線方程．當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與曲線方程，消去一個(gè)字母后得到關(guān)于另一個(gè)字母的一元二次方程，利用根的判別式等于0，是解題的關(guān)鍵．