Question

已知圓C：（x-3）²+y²=5與拋物線y²=2px（p＞0）在x軸上方交于A，B兩點，
（1）求實數p的取值范圍；
（2）若∠ACB=90°，求實數p的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）圓C：（x-3）²+y²=5與拋物線y²=2px方程聯(lián)立，可得：（x-3）²+2px=5，由△=（2p-6）²-16＞0，可求實數p的取值范圍；
（2）若∠ACB=90°，

CA

•

CB

=0，利用數量積公式，結合韋達定理，即可求實數p的值．

解答： 解：（1）圓C：（x-3）²+y²=5與拋物線y²=2px方程聯(lián)立，可得：（x-3）²+2px=5，
即x²+（2p-6）x+4=0，
∵圓C：（x-3）²+y²=5與拋物線y²=2px（p＞0）在x軸上方交于A，B兩點，
∴△=（2p-6）²-16＞0，
∴p＜1或p＞5；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＞0），則x₁+x₂=6-2p，x₁x₂=4，
∵∠ACB=90°，
∴

CA

•

CB

=0，
∴（x₁-3，y₁）•（x₂-3，y₂）=0，
∴（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0，
∴x₁x₂-3（x₁+x₂）+2p

x1x2

=0，
∴4-3（6-2p）+4p=0，
∴p=

7

5

．

點評：本題考查圓與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．