Question

2．點(diǎn)F是拋物線(xiàn)τ：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，F(xiàn)₁是雙曲線(xiàn)C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，若線(xiàn)段FF₁的中點(diǎn)P恰為拋物線(xiàn)τ與雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)C的離心率e的值為（　�。�

• A． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$
• C． $\frac{9}{8}$
• D． $\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$

Answer 1

分析 雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=$\frac{a}$x，代入x²=2py，可得P（$\frac{2bp}{a}$，$\frac{2^{2}p}{{a}^{2}}$），利用P是線(xiàn)段FF₁的中點(diǎn)，可得P（$\frac{c}{2}$，$\frac{p}{4}$），由此即可求出雙曲線(xiàn)C的離心率．

解答 解：雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=$\frac{a}$x，代入x²=2py，可得P（$\frac{2bp}{a}$，$\frac{2^{2}p}{{a}^{2}}$），
∵F（0，$\frac{p}{2}$），F(xiàn)₁（c，0）
∴線(xiàn)段FF₁的中點(diǎn)P（$\frac{c}{2}$，$\frac{p}{4}$），
∴$\frac{2bp}{a}$=$\frac{c}{2}$，$\frac{2^{2}p}{{a}^{2}}$=$\frac{p}{4}$，
∴a²=8b²，
∴c²=9b²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)C的離心率，考查拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定P的坐標(biāo)是關(guān)鍵．