Question

18．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（1）y=$\frac{1}{{x}^{2}-4x+5}$；
（2）y=$\sqrt{{x}^{2}-x-6}$；
（3）y=$\frac{1}{\sqrt{-{x}^{2}-2x+3}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，利用換元法進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）設(shè)t=x²-4x+5，則y=$\frac{1}{t}$為減函數(shù)，
由t=x²-4x+5=（x-2）²+1＞0得函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+∞），
對(duì)稱軸為x=2，當(dāng)x≥2時(shí)，t=x²-4x+5單調(diào)遞增，而y=$\frac{1}{t}$為減函數(shù)，此時(shí)函數(shù)y=$\frac{1}{{x}^{2}-4x+5}$為減函數(shù)，即單調(diào)遞減區(qū)間為[2，+∞），
當(dāng)x≤2時(shí)，t=x²-4x+5單調(diào)遞減，而y=$\frac{1}{t}$為減函數(shù)，此時(shí)函數(shù)y=$\frac{1}{{x}^{2}-4x+5}$為增函數(shù)，即單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，2]．
（2）由t=x²-4x+5=（x+2）（x-3）≥0得x≥3或x≤-2，
當(dāng)x≥3時(shí)，t=x²-x-6單調(diào)遞增，而y=$\sqrt{t}$為增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}-x-6}$為增函數(shù)，即單調(diào)遞增區(qū)間為[3，+∞），
當(dāng)x≤-2時(shí)，t=x²-x-6單調(diào)遞減，而y=$\sqrt{t}$為增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}-x-6}$為減函數(shù)，即單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-2]．
（3）設(shè)t=-x²-2x+3，u=$\sqrt{t}$，y=$\frac{1}{u}$，
由-x²-2x+3＞0得x²+2x-3＜0得-3＜x＜1，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?3，1），t=-x²-2x+3的對(duì)稱軸為x=-1，
當(dāng)-3＜x≤-1時(shí)，函數(shù)t=-x²-2x+3為增函數(shù)，則u=$\sqrt{t}$為增函數(shù)，y=$\frac{1}{u}$為減函數(shù)，此時(shí)y=$\frac{1}{\sqrt{-{x}^{2}-2x+3}}$為減函數(shù)，即單調(diào)遞減區(qū)間為（-3，-1]．
當(dāng)-1≤x＜1時(shí)，函數(shù)t=-x²-2x+3為減函數(shù)，則u=$\sqrt{t}$為增函數(shù)，y=$\frac{1}{u}$為減函數(shù)，此時(shí)y=$\frac{1}{\sqrt{-{x}^{2}-2x+3}}$為增函數(shù)，即單調(diào)遞增區(qū)間為[-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．