Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+x²+ax，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可判斷函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x²+2x+a，
若△=4-4a≤0，即a≥1，此時f′（x）=x²+2x+a≥0恒成立，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
若△=4-4a＞0，即a＜1時，f′（x）=x²+2x+a=0，解得x=

-2± 4-4a

2

=-1±

1-a

，
當(dāng)x＞-1+

1-a

或x＜-1-

1-a

時，f′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)-1-

1-a

＜x＜-1+

1-a

時，f′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
故此時函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1-

1-a

，-1+

1-a

），
遞增區(qū)間為（-1+

1-a

，+∞），和（-∞，-1-

1-a

）．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，注意討論a的取值范圍對函數(shù)導(dǎo)數(shù)的影響．