Question

如圖1直角△ABC中，兩直角邊長分別是BC=3，AC=6，D、E分別是AC、AB上的點，且DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD（如圖2）
（Ⅰ）求證：A₁D⊥EC；
（Ⅱ）判斷如下兩個兩個命題的真假，并說明理由．
①BC∥平面A₁DE     
②EB∥平面A₁DC．

Answer 1

考點：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可得出；
（II）①利用線面平行的判定定理即可得出；
②利用線面平行的判定與性質(zhì)定理及其反證法即可得出．

解答： 證明：（Ⅰ）在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，
∴AD⊥DE，∴A₁D⊥DE．
又A₁D⊥CD，CD∩DE=D，∴A₁D⊥平面BCDE，
又EC?平面BCDE，∴A₁D⊥EC．
（Ⅱ）命題①是真命題，證明如下：
∵DE∥BC，DE?平面A₁DE，BC?平面A₁DE，
∴BC∥平面A₁DE．
命題②是假題
（反證法）若EB∥平面A₁DC，又EB?平面BCDE，平面BCDE∩平面A₁DC=CD，
據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理，EB∥DC，這與直角三角形矛盾，所以假設(shè)不成立，
故命題②是假命題．

點評：本題綜合考查了線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理及其反證法，考查了推理能力，屬于難題．