Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別BB₁，CD的中點．
（1）求證：AE⊥平面A₁FD₁；
（2）已知G是靠近C₁的A₁C₁的四等分點，求證：EG∥平面A₁FD₁．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）建立空間直角坐標系O-xyz．利用向量法能證明AE⊥平面A₁FD₁．
（2）由已知條件推導出G(x，y，z)=(

3

4

a，

3

4

a，a)，從而

AE

⊥

EG

，由此能證明EG∥平面A₁FD₁．

解答： 證明：（1）如圖所示，建立空間直角坐標系O-xyz．
設正方體的棱長為a．
∵E，F(xiàn)，G分別BB₁，CD，A₁C₁的中點，
∴A(0，0，0)，E(a，0，

a

2

)，A₁（0，0，a），
D₁（0，a，a），F(

a

2

，a，0)．…（1分）
∵A(0，0，0)，E(a，0，

a

2

)，∴

AE

=E(a，0，

a

2

)-A(0，0，0)=(a，0，

a

2

)．…（2分）
∵A₁（0，0，a），D₁（0，a，a），F(

a

2

，a，0)，
∴

A1F

=F(

a

2

，a，0)-A1(0，0，a)=(

a

2

，a，-a)，

D1F

=(

a

2

，0，-a)．…（3分）
∵

AE

•

A1F

=(a，0，

a

2

)•(

a

2

，a，-a)=

a2

2

+0-

a2

2

=0，

AE

•

D1F

=(a，0，

a

2

)•(

a

2

，0，-a)=

a2

2

+0-

a2

2

=0，
∴

AE

⊥

A1F

，

AE

⊥

D1F

．…（5分）
∵A₁F，D₁F是平面A₁FD₁上的兩條相交直線，
∴AE⊥平面A₁FD₁．…（6分）
（2）∵G是靠近C₁的A₁C₁的四等分點，
∴

A1G

=

3

4

A1C1

．…（7分）
設G（x，y，z），
則(x，y，z)-(0，0，a)=

3

4

[(a，a，a)-(0，0，a)]=

3

4

(a，a，0)，
∴G(x，y，z)=(

3

4

a，

3

4

a，a)，
∴

EG

=G(

3

4

a，

3

4

a，a)-E(a，0，

a

2

)=(-

1

4

a，

3

4

a，

a

2

)．…（9分）
∴

AE

•

EG

=(a，0，

a

2

)•(-

1

4

a，

3

4

a，

a

2

)=-

1

4

a2+

1

4

a2=0，
∴

AE

⊥

EG

，
∵AE⊥平面A₁FD₁，且EG不在平面A₁FD₁內(nèi)，
∴EG∥平面A₁FD₁．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．