Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)T(

2

，-

6

2

)，其離心率為

1

2

，右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F（c，0），直線x=

a2

c

與x軸交于B，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)P為點(diǎn)M關(guān)于直線x=

a2

c

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：N、B、P三點(diǎn)共線；
（3）求△BNM的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)T(

2

，-

6

2

)，其離心率為

1

2

，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（2）分類(lèi)討論，證明

BP

，

BN

共線，可得N、B、P三點(diǎn)共線；
（3）分類(lèi)討論，表示出△BNM的面積，即可求△BNM的面積的最大值．

解答： （1）解：根據(jù)題意得

( 2 )2 a2 + (- 6 2 )2 b2 =1 a2-b2 a = 1 2

⇒

a2=4 b2=3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）證明：設(shè)直線l：y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
直線方程代入橢圓方程，消去y可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
∵P（8-x₁，y₁），
∴

BP

=（4-x₁，y₁），

BN

=（x₂-4，y₂），
∴（4-x₁）y₂）-（x₂-4）y₁=4k（x₁+x₂-2）-2kx₁x₂+k（x₁+x₂）
=4k（

8k2

3+4k2

-2）-2k•

4k2-12

3+4k2

+k•

8k2

3+4k2

=0
當(dāng)l⊥x軸時(shí)，也滿(mǎn)足，
故

BP

，

BN

共線，
∴N、B、P三點(diǎn)共線；
（3）解：記d為B到l的距離，則d=

3|k|

1+k2

，
∴S=

1

2

d|MN|=

1

2

•

3|k|

1+k2

•

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

9

2

1- 8k2+9 16k4+24k2+9

＜

9

2

當(dāng)l⊥x軸時(shí)，S=

9

2

，
∴△BMN的面積的最大值為

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．