如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,且PA=AB=BC=
1
2
CD,EB=
1
2
PE.
(1)求證:PD∥平面AEC.
(2)求二面角A-CE-P的余弦值.
考點:用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題
專題:綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)由已知條件,推導(dǎo)出EM∥PD,利用直線與平面平行的判定定理能證明PD∥面EAC.
(2)以A為坐標(biāo)原點,分別以AB,AP為y軸,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面EAC的一個法向量,平面PBC的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可得出結(jié)論.
解答: (1)證明:連結(jié)BD,交AC于點M,連結(jié)EM,
∵AB∥DC,AB=
1
2
CD,
BM
MD
=
AB
CD
=
1
2
…(1分)
又∵
BE
PE
=
1
2
,∴
BM
MD
=
BE
PE
       …(2分)
∴在△BPD中,EM∥PD.
∵PD不包含于平面EAC,EM?平面EAC
∴PD∥面EAC …(5分)
(2)解:由已知可以A為坐標(biāo)原點,分別以AB,AP為y軸,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)PA=AB=BC=a,則A(0,0,0),C(a,a,0),B(0,a,0),P(0,0,a),E(0,
2a
3
,
a
3


設(shè)
n1
=(x,y,1)為平面EAC的一個法向量,
ax+ay=0
2ay
3
+
a
3
=0
,
解得x=
1
2
,y=-
1
2
,∴
n1
=(
1
2
,-
1
2
,1).        …(9分)
同理可得平面PBC的一個法向量
n2
=(0,1,1)…(11分)
∴cos<
n1
,
n2
>=
n1
n2
|
n1
||
n2
|
=
3
6
   …(13分)
∴二面角A-CE-P的余弦值為
3
6
.  …(14分)
點評:本題考查直線與平面平行的證明,考查平面與平面所成角的應(yīng)用,解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想和向量法的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,PA,PB是圓O的兩條切線,A,B是切點,C是劣弧AB(不包括端點)上一點,直線PC交圓O于另一點D,Q在弦CD上,且∠DAQ=∠PBC.求證:
(1)
BD
AD
=
BC
AC

(2)△ADQ∽△DBQ.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)面ADD1A1⊥底面ABCD,D1A=D1D=
2
,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點.
(Ⅰ)求證:A1O∥平面AB1C;
(Ⅱ)求銳二面角B1-AC-B的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知不等式x2-2ax+2>0在x∈(-1,2)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)經(jīng)過點T(
2
,-
6
2
)
,其離心率為
1
2
,右頂點為A,右焦點為F(c,0),直線x=
a2
c
與x軸交于B,過點F的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N,點P為點M關(guān)于直線x=
a2
c
的對稱點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求證:N、B、P三點共線;
(3)求△BNM的面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示,其正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.

(1)證明:面BCN⊥面C1NB1
(2)求平面CNB1與平面C1NB1所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
),sinx),
n
=(1,sinx),f(x)=
m
n
-
1
2

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,a=2
3
,f(
A
2
)=
1
2
,若
3
sin(A+C)=2cosC,求b的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(Ⅰ)證明:AB⊥A1C;
(Ⅱ)若AB=CB=2,A1C=
6
,求二面角B-AC=A1的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,圓內(nèi)接△ABC的角平分線CD延長后交圓于一點E,ED=1,DC=4,BD=2,則AD=
 
;EB=
 

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同步練習(xí)冊答案