Question

已知拋物線 x²=y，直線L經(jīng)過點(diǎn)A（-1，2）但不經(jīng)過點(diǎn)B（1，1），與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)大于1，直線L的斜率為k，直線BN，BM的斜率分別為k₁，k₂．
（1）當(dāng)AB垂直于直線L時，求 k₁．k₂的值．
（2）設(shè)△BAM和△BAN的面積分別為S₁，S₂，當(dāng)k≤1時，求

S1

S2

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得直線L的斜率及其方程，進(jìn)而與拋物線的方程聯(lián)立可得交點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再利用斜率計(jì)算公式即可得出；
（2）把直線L的方程與拋物線的方程聯(lián)立可得交點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可得

S1

S2

=

|AM|

|AN|

=

(x1+1)2+(y1-2)2

(x2+1)2+(y2-2)2

，由k的取值范圍即可得出．

解答： 解：（1）kAB=

2-1

-1-1

=-

1

2

，
∵AB⊥L，
∴k_AB•k_L=-1，∴k_L=2．
∴直線L的方程為：y-2=2（x+1），化為2x-y+4=0．
聯(lián)立

y=x2 2x-y+4=0

，解得

x=1+ 5 y=6+2 5

，

x=1- 5 y=6-2 5

．
∴M(1+

5

，6+2

5

)，N(1-

5

，6-2

5

)．
∴k₁=

6-2 5 -1

1- 5 -1

=2-

5

，k₂=

6+2 5 -1

1+ 5 -1

=2+

5

．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
直線L的方程為y-2=k（x+1），化為y=kx+k+2．
聯(lián)立

y=kx+k+2 y=x2

，化為x²-kx-k-2=0，
x₁+x₂=k，x₁x₂=-k-2．
x=

k± k2+4k+8

2

，
∵x₁＞1，
∴x1=

k+ k2+4k+8

2

，x2=

k- k2+4k+8

2

．
由x1=

k+ k2+4k+8

2

＞1，化為

k2+4k+8

＞2-k，又k≤1，
解得1≥k＞-

1

2

．
∴

S1

S2

=

|AM|

|AN|

=

(x1+1)2+(y1-2)2

(x2+1)2+(y2-2)2

=

(x1+1)2+(kx1+k)2

(x2+1)2+(kx2+k)2

=

|x1+1|

|x2+1|

=

k2+4k+8 +k+2

k2+4k+8 -k-2

=

k2+4k+6+(k+2) k2+4k+8

2

=f（k），
∵-

1

2

＜k≤1，∴f（k）單調(diào)遞增．
∴f(-

1

2

)＜f(k)≤f(1)，
即4＜f(k)≤

11+3 3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為的方程聯(lián)立可得交點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率計(jì)算公式、兩點(diǎn)間的距離公式、函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．