Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E為AB的中點．
（Ⅰ）證明：A₁D⊥D₁E； 
（Ⅱ）求二面角D-CE-D₁的平面角的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件，推導(dǎo)出A₁D⊥AD₁，A₁D⊥AE，由此能夠證明AD₁⊥面AD₁E，從而得到A₁D⊥D₁E．
（Ⅱ）連結(jié)DE，由已知條件推導(dǎo)出∠DFD₁是二面角D-CE-D₁的平面角，由此能求出二面角D-CE-D₁的平面角的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AD=AA₁=1，∴A₁D⊥AD₁，
又在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AB⊥側(cè)面ADD₁A₁，A₁D?側(cè)面ADD₁A₁，
∴A₁D⊥AB，即A₁D⊥AE，
又∵AD₁∩AE=A，AD₁，AE?面AD₁E，
∴AD₁⊥面AD₁E，∴A₁D⊥D₁E．（6分）
（Ⅱ）解：連結(jié)DE，在矩形ABCD中，
∵AB=2，AD=1，且E為AB中點，∴DE⊥CE，且DE=

2

，
又∵DD₁⊥底面ABCD，CE?底面ABCD，
∴DD₁⊥CE，而DD₁∩DE=D，DD₁，DE?面DD₁E，
∴CE⊥面DD₁E，D₁E?面DD₁E，∴D₁E⊥CE，
∴∠DFD₁是二面角D-CE-D₁的平面角，
在Rt△DD₁E中，tan∠DED₁=

DD1

DE

=

1

2

=

2

2

，
∴二面角D-CE-D₁的平面角的正切值為

2

2

．（6分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，合理地化空間問題為平面問題．