Question

已知圓C的半徑為2，圓心C在x軸的正半軸上，直線(xiàn)3x-4y+4=0與圓C相切，
（1）求圓C的方程；
（2）過(guò)直線(xiàn)2x+y+4=0上的動(dòng)點(diǎn)P向圓C引切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M、N，求

CM

•

CN

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線(xiàn)方程,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：綜合題,直線(xiàn)與圓

分析：（1）確定圓的圓心坐標(biāo)，即可得到圓的方程；
（2）當(dāng)CP⊥直線(xiàn)2x+y+4=0時(shí)，∠MCN最小，當(dāng)P在直線(xiàn)2x+y+4=0上運(yùn)動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，∠MCN最大，無(wú)限接近π，利用向量的數(shù)量積公式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)C（a，0）（a＞0），則
∵圓C的半徑為2，直線(xiàn)3x-4y+4=0與圓C相切，
∴

|3a+4|

5

=2，
∵a＞0，
∴a=2，
∴圓C的方程為（x-2）²+y²=4；
（2）當(dāng)CP⊥直線(xiàn)2x+y+4=0時(shí)，∠MCN最小，
由于C到直線(xiàn)的距離為

8

5

，∴cos∠MCP=

2

8 5

=

5

4

，∴cos∠MCN=2•

5

16

-1=-

3

8

，
當(dāng)P在直線(xiàn)2x+y+4=0上運(yùn)動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，∠MCN最大，無(wú)限接近π，
∴

CM

•

CN

的取值范圍是（-4，-

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．