已知線段AB的端點B的坐標為（1，3），端點A在圓C：（x+1）2+y2=4上運動．
（1）求線段AB的中點M的軌跡；
（2）過B點的直線L與圓C有兩個交點A，D．當CA⊥CD時，求L的斜率．
考點：軌跡方程,直線與圓相交的性質
專題：計算題,直線與圓
分析：（1）設出A和M的坐標，利用中點坐標公式把A的坐標用M的坐標表示，代入圓的方程后可求線段AB的中點M的軌跡；
（2）由題意可知L的斜率存在，設出其斜率，結合CA⊥CD，由弦心距和半徑的關系得到弦心距，再由圓心到直線的距離公式列式求出直線L的斜率．
解答： 解（1）設A（x1，y1），M（x，y），
由中點公式得x1=2x-1，y1=2y-3
因為A在圓C上，所以（2x）2+（2y-3）2=4，即x2+（y-1.5）2=1．
點M的軌跡是以（0，1.5）為圓心，1為半徑的圓；
（2）設L的斜率為k，則L的方程為y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0
因為CA⊥CD，△CAD為等腰直角三角形，
由題意知，圓心C（-1，0）到L的距離為
2
．
由點到直線的距離公式得
|-k-k+3|
k2+1
=
2
，
∴4k2-12k+9=2k2+2
∴2k2-12k+7=0，解得k=3±
22
2
．
點評：本題考查了與直線有關的動點的軌跡方程問題，考查了利用代入法求曲線的方程，解答的關鍵是正確利用直線和圓的位置關系，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知平面上的非零向量
OP1
，
OP2
，
OP3
滿足
OP1
+
OP2
+
OP3
=
0
，|
OP1
|=|
OP2
|=1，且cos＜
OP1
，
OP2
＞=-
4
5
，則△P1P2P3的形狀為（　�。�
A、等腰三角形
B、直角三角形
C、等腰直角三角形
D、等邊三角形

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（π-x），x∈R．
（1）求函數(shù)f2（x）+cos2（π+x）的值；
（2）若f（α）=
3
5
，α∈[0，
π
2
]，求f（α-
π
6
）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，連接A1C，BD．
（1）求三棱錐A1-BCD的體積．
（2）求證：A1C⊥BD．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，左右焦點分別為F1、F2，拋物線y2=4
3
x的焦點F恰好是該橢圓的一個焦點．
（1）求橢圓方程；
（2）過橢圓的左頂點A作兩條弦AM、AN分別交橢圓于M、N兩點，滿足
AM
•
AN
=0，當點M在橢圓上運動時，直線MN是否經(jīng)過x軸上的一定點，若過定點，請給出證明，并求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC，DC的中點，若
AB
=
a
，
AD
=
b
，試用
a
，
b
，表示
DE
、
BF
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（x+2）ln（x+1）-ax2-x（a∈R），g（x）=ln（x+1）．
（Ⅰ）若a=0，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x），求函數(shù)F（x）的極值點及相應的極值；
（Ⅱ）若對于任意x2＞0，存在x1滿足x1＜x2且g（x1）=f（x2）成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知全集U=R，集合A={x|-3≤x＜1}，函數(shù)f（x）=log2（x+3）的定義域為B，求：
（1）A∩B，A∪B；
（2）A∪（∁UB）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax+2（a∈R），在x=
1
2
時取得極值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若F（x）=λx2-3x+2-f（x）（λ＞0）有唯一零點，求λ的值．

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