Question

如圖，P是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱A₁D₁上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P和直線AC₁確定的平面為α，過(guò)點(diǎn)P與直線AC₁垂直的平面為β，則下列命題正確的是

 

①存在平面α，使得A₁B∥α；
②對(duì)任意平面α都有α⊥β；
③平面α將正方體分割為體積相等的兩部分；
④β截正方體所得截面多邊形可能是四邊形．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：可取P為A₁D₁的中點(diǎn)，運(yùn)用線面平行的判定定理，即可判斷①；由面面垂直的判定定理可判斷②；運(yùn)用正方體的對(duì)稱性即可判斷③；可根據(jù)截面A₁BD和截面B₁CD₁都和直線AC₁垂直，可知β截正方體所得截面介于截面A₁BD和截面B₁CD₁之間，從而判斷④．

解答： 解：①當(dāng)P為A₁D₁的中點(diǎn)時(shí)，
取BC的中點(diǎn)E，連C₁E，可證PA∥C₁E，
連PE，可得A₁B∥PE，
由線面平行的判定定理可得A₁B∥α，故①正確；
②因?yàn)槠矫姒吝^(guò)AC₁，且AC₁⊥β，所以α⊥β，
故②正確；
③由于平面α經(jīng)過(guò)直線AC₁，
由對(duì)稱性易知③正確；
④由于AC₁⊥截面A₁BD和AC₁⊥截面B₁CD₁，
β截正方體所得截面介于截面A₁BD和截面B₁CD₁之間，可以是三角形或六邊形，故④錯(cuò)．
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查線面平行的判斷和線面垂直、面面垂直的判定，同時(shí)考查空間想象能力和判斷能力．