Question

設(shè)p：“a＞3”q：“f（x）=x³-ax²+1在（0，2）上有唯一零點(diǎn)”，則p是q的（　　）

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．

解答： 解：若a＞3，則f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a）=3x（x-

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a），
∴f′（x）＜0，即函數(shù)函數(shù)f（x）=x³-ax²+1 在（0，2）上單調(diào)遞減，
而f（0）=1＞0，f（2）=8-4a+1=9-4a＜0，
∴函數(shù)f（x）=x³-ax²+1 在（0，2）上零點(diǎn)有一個(gè)．
當(dāng)a=3時(shí)，f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
則當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值f（0）=1＞0，
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值f（2）=-3＜0，
且函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，滿足f（x）=x³-3x²+1在（0，2）上有唯一零點(diǎn)，但a＞3不成立．
故p是q的充分不必要條件．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵．