Question

已知在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為CC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC₁∥面DBE；
（Ⅱ）求三棱錐B₁-DBE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理證明：AC₁∥平面BDE；
（Ⅱ）利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐B₁-DBE的體積．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)F，連接EF，
則由題在△ACC₁中，EF是兩邊CC₁、AC上的中位線(xiàn)，
∴EF∥AC₁…（4分）
又∵EF?面DBE
∴AC₁∥面DBE…（6分）
（Ⅱ）解：由題VB1-DBE=VD-B1BE…（8分）
而在三棱錐D-B₁BE中，S△B1BE=

1

2

×2×2=2，高為正方體的棱長(zhǎng)，
∴VD-B1BE=

1

3

SB1BE×h=

1

3

×2×2=

4

3

=VB1-DBE，即VB1-DBE=

4

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線(xiàn)和平面平行的判定定理，考查錐體體積的計(jì)算，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理．