Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1，（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=0，則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|的最小值是$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1，設O（ 0，0），$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（1，0），$\overrightarrow{c}$=（x，y），由（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=0，得（1-x）（1-2x）+（$\sqrt{3}$-2y）（-y）=0．整理得C的曲線方程是一個圓，由此能求出|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|的最小值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1，
$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（1，0），$\overrightarrow{c}$=（x，y），由（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=0，得（1-x）（1-2x）+（$\sqrt{3}$-2y）（-y）=0．
整理得方程C的曲線方程為：（x-$\frac{3}{4}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）²=$\frac{1}{2}$，
C（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（1-x）^{2}+（\sqrt{3}-y）^{2}}$表示A（1，$\sqrt{3}$）到圓上的點（x，y）的距離，最小值為AC-r=$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{2}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積的運算，圓外的點到圓上點距離最小值的計算；屬于中檔題．