Question

已知F是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F作一條與坐標(biāo)軸不垂直，且與漸進(jìn)線也不平行的直線l，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線l′交x軸于M點(diǎn)．
（1）設(shè)F為右焦點(diǎn)，l的斜率為1，求l′的方程；
（2）試判斷是否為定值，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得F（5，0），所以l的方程為y=x-5與雙曲線方程聯(lián)立，消元可得7x²-160x+544=0
∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（），
∴l(xiāng)′的方程為x+y-=0 …（5分）
（2）不失一般性，F(xiàn)取為（5，0）．
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-5）（k≠0，k≠），A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消元可得（9-16k²）x²+160k²x-400k²-144=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=-
∴|AB|==
線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
∴線段AB的中垂線方程為y+=-（x+），
∴M的坐標(biāo)為（，0）
∴|FM|=|-5|=
∴=是一個(gè)常數(shù) …（13分）
分析：（1）l的方程與雙曲線方程聯(lián)立，確定線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得l′的方程；
（2）不失一般性，F(xiàn)取為（5，0）．設(shè)直線AB的方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求得|AB|，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，可得線段AB的中垂線方程，從而可得M的坐標(biāo)，進(jìn)而可求是一個(gè)常數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查兩點(diǎn)間的距離公式，屬于中檔題．