Question

已知g（x）=e^x-x．
（Ⅰ）求g（x）的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈（0，+∞），使不等式

2x-m

g(x)

＞x成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：其他不等式的解法,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)判斷知，當(dāng)x=0時，g（x）在x=0時取得極小值，也是最小值；
（Ⅱ）依題意可得2x-m＞x（e^x-x），整理得m＜-x（e^x-x-2），令h（x）=-x（e^x-x-2）（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)法可求得h（x）_max，從而可得m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）g′（x）=e^x-1，
當(dāng)x＞0時，g′（x）＞0，g（x）=e^x-x在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＜0時，g′（x）＜0，g（x）=e^x-x在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減；
∴當(dāng)x=0時，g（x）在x=0時取得極小值，也是最小值，即g（x）_min=g（0）=1．
（Ⅱ）∵g（x）≥1，∴

2x-m

g(x)

＞x?2x-m＞x（e^x-x），
∴m＜-x（e^x-x-2），
令h（x）=-x（e^x-x-2）（x＞0），
則h′（x）=-（e^x-x-2）-x（e^x-1）=（x+1）（2-e^x），
當(dāng)0＜x＜ln2時，h′（x）＞0；當(dāng)x＞ln2時，h′（x）＜0；
∴當(dāng)x=ln2時，h（x）取得極大值，也是最大值，為h（ln2）=-ln2（e^ln2-ln2-2）=ln²2．
∴m＜ln²2．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查等價轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題．