Question

已知函數(shù)f(x)=sinωx·cosωx-cos²ωx+(ω∈R,x∈R)的最小正周期為π,且圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱.

（1）求f(x)的解析式；

（2）若函數(shù)y=1-f(x)的圖象與直線y=a在［0,］上只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

解：（1）∵f(x)=sinωx·cosωx-cos²ωx+=sin2ωx-(1+cos2ωx)+=sin(2ωx-)+1,由f(x)的周期為π,∴=πω=±1,∴f(x)=sin(±2x-)+1.

①當(dāng)ω=1時(shí)，f(x)=sin(2x-)+1,

∵f()=sin+1不是最大或最小值，其圖象不關(guān)于x=對(duì)稱，舍去.

②當(dāng)ω=-1時(shí)，f(x)=-sin(2x+)+1,

∵f()=-sin+1=0是最小值，其圖象關(guān)于x=對(duì)稱.故f(x)=1-sin(2x+)為所求解析式.

（2）∵y=1-f(x)=sin(2x+),在同一坐標(biāo)系中作出y=sin(2x+)和y=a的圖象.

由上圖可知，直線y=a在a∈［-,)或a=1時(shí)，兩曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，∴a∈［-,）或a=1.