Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系．已知曲線C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），過點P（﹣2，﹣4）的直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），直線l與曲線C分別交于M、N兩點．
（1）寫出曲線C和直線l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），

轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：y2=2ax

線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），

轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：x﹣y﹣2=0

（2）解：將直線的參數(shù)方程 （t為參數(shù)），代入y2=2ax得到：

，

所以： ，t1t2=32+8a，①

則：|PM|=t1，|PN|=t2，|MN|=|t1﹣t2|

|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，

所以： ，②

由①②得：a=1

【解析】（1）直接利用關(guān)系式把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程．（2）利用參數(shù)方程和拋物線方程建立成關(guān)于t的一元二次方程組，利用根和系數(shù)的關(guān)系求出兩根和與兩根積，進一步利用等比數(shù)列進一步求出a的值．