Question

16．已知四棱錐A-BCDE的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，面ABC⊥底面BCDE，且AB=AC=4，則四棱錐A-BCDE外接球的表面積為$\frac{112π}{3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，連接CE，BD，相交于點(diǎn)O₁，過(guò)點(diǎn)O₁作OO₁⊥平面BCDE．設(shè)等邊三角形ABC的中心為O₂點(diǎn)，過(guò)O₂點(diǎn)作OO₂⊥平面ABC，點(diǎn)O為OO₂與OO₁的交點(diǎn)，則點(diǎn)O為四棱錐A-BCDE外接球的球心．利用正方形與等邊三角形的有關(guān)知識(shí)即可得出四棱錐A-BCDE外接球的半徑R，再利用球的表面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，
連接CE，BD，相交于點(diǎn)O₁，過(guò)點(diǎn)O₁作OO₁⊥平面BCDE．
設(shè)等邊三角形ABC的中心為O₂點(diǎn)，過(guò)O₂點(diǎn)作OO₂⊥平面ABC，點(diǎn)O為OO₂與OO₁的交點(diǎn)，
則點(diǎn)O為四棱錐A-BCDE外接球的球心．
∵底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，∴O₁E=2$\sqrt{2}$．
由△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，可得OO₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴四棱錐A-BCDE外接球的半徑R=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{28}{3}}$．
∴四棱錐A-BCDE外接球的表面積=4πR²=$\frac{112π}{3}$．
故答案為：$\frac{112π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面由于面面垂直的性質(zhì)、正方形與等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、球的表面積計(jì)算公式，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．