【題目】如圖,三棱柱中,,,平面平面.
(1)求證:;
(2)若,直線與平面所成角為,為的中點(diǎn),求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)過點(diǎn)C作CO⊥AA1,則CO⊥平面AA1B1B,CO⊥OB,推導(dǎo)出Rt△AOC≌Rt△BOC,從而AA1⊥OB,再由AA1⊥CO,得AA1⊥平面BOC,由此能證明AA1⊥BC.
(2)以O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OC所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角B1﹣A1D﹣C1的余弦值.
(1)過點(diǎn)作,垂足為,
因?yàn)槠矫?/span>平面,
所以平面,故,
又因?yàn)?/span>,,,
所以,故,
因?yàn)?/span>,所以,
又因?yàn)?/span>,所以平面,故.
(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在直線為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
因?yàn)?/span>平面,
所以是直線與平面所成角,
故,
所以,,
,,,,,,
設(shè)平面的法向量為,則
,所以,
令,得,
因?yàn)?/span>平面,
所以為平面的一條法向量,
,
,
所以二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)p的取值范圍;
(2)問是否存在常數(shù),使得當(dāng)時(shí),的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長度為.
(注:區(qū)間 的長度為).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度,從A、B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶,得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下:
A地區(qū): | 62 | 73 | 81 | 92 | 95 | 85 | 74 | 64 | 53 | 76 |
78 | 86 | 95 | 66 | 97 | 78 | 88 | 82 | 76 | 89 | |
B地區(qū): | 73 | 83 | 62 | 51 | 91 | 46 | 53 | 73 | 64 | 82 |
93 | 48 | 95 | 81 | 74 | 56 | 54 | 76 | 65 | 79 |
(Ⅰ)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖,并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度的平均值及分散程度(不要求算出具體值,給出結(jié)論即可):
(Ⅱ)根據(jù)用戶滿意度評(píng)分,將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí):
滿意度評(píng)分 | 低于70分 | 70分到89分 | 不低于90分 |
滿意度等級(jí) | 不滿意 | 滿意 | 非常滿意 |
記事件C:“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”,假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立,根據(jù)所給數(shù)據(jù),以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,求C的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn),點(diǎn)到直線:的距離為,到點(diǎn)的距離為,且,若直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、(、都在軸上方),且.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線的方程;
(3)對(duì)于動(dòng)直線,是否存在一個(gè)定點(diǎn),無論如何變化,直線總經(jīng)過此定點(diǎn)?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)到短軸的端點(diǎn)的距離為,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),過點(diǎn)作平行于軸的直線,交直線于點(diǎn),求證:直線恒過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是拋物線上一點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)),直線、分別交直線于點(diǎn)、.
(1)求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求證:以為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中所有正確的序號(hào)是_________
①兩直線的傾斜角相等,則斜率必相等;
②若動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線;
③已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),則的周長為;
④曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),則它表示雙曲線且漸近線方程為;
⑤已知正方形,則以、為焦點(diǎn),且過、兩點(diǎn)的橢圓的離心率為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若集合具有以下性質(zhì):(1)且;(2)若,,則,且當(dāng)時(shí),,則稱集合為“閉集”.
(1)試判斷集合是否為“閉集”,請(qǐng)說明理由;
(2)設(shè)集合是“閉集”,求證:若,,則;
(3)若集合是一個(gè)“閉集”,試判斷命題“若,,則”的真假,并說明理由.
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