Question

10．已知變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≤0}\\{x≥1}\\{x+y-7≤0}\end{array}\right.$，則$\frac{y+x}{x}$的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{14}{5}$，7]
• B． （-∞，$\frac{14}{5}$]∪[7，+∞）
• C． （-∞，4]∪[7，+∞）
• D． （4，7]

Answer 1

分析 作出不等式對應的平面區(qū)域，設z=$\frac{y+x}{x}$=$\frac{y}{x}$+1，利用z的幾何意義進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖（陰影部分ABC）：
設z=$\frac{y+x}{x}$=$\frac{y}{x}$+1，
設k=$\frac{y}{x}$，則z=k+1，k的幾何意義為區(qū)域內的點P到原點O的直線的斜率，
由圖象可知當直線過B點時對應的斜率最小，當直線經過點A時的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（1，6），
此時OA的斜率k=6，
即$z=\frac{y}{x}$+1的最大值為6+1=7．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{2}$），
此時OB的斜率k=$\frac{\frac{9}{2}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{9}{5}$，$z=\frac{y}{x}$+1的最小值為$\frac{9}{5}$+1=$\frac{14}{5}$．
故$\frac{14}{5}$≤z≤7，
故選：A

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法，要熟練掌握目標函數(shù)的幾何意義．