【題目】已知λμ為常數(shù),且為正整數(shù),λ≠1,無(wú)窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意的正整數(shù)n,Sn=λanμ.記數(shù)列{an}中任意兩不同項(xiàng)的和構(gòu)成的集合為A

1)證明:無(wú)窮數(shù)列{an}為等比數(shù)列,并求λ的值;

2)若2015∈A,求μ的值;

3)對(duì)任意的n∈N*,記集合Bn={x|3μ2n1x3μ2n,x∈A}中元素的個(gè)數(shù)為bn,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

【答案】1)見(jiàn)解析;

231403;

3bn=nn∈N*

【解析】

1)證明:∵Sn=λanμ.當(dāng)n≥2時(shí),Sn1=λan1μ,

∴an=λanλan1,λ≠1,,

數(shù)列{an}為等比數(shù)列,

各項(xiàng)均為正整數(shù),則公比=為正整數(shù),λ為正整數(shù),

∴λ=2

2)解:由(1)可得:Sn=2anμ,當(dāng)n=1時(shí),a1,則an=μ2n1

∴A={μ2i1+2j1|1≤ij,i,j∈N*},

∵2015∈A,∴2015=μ2i1+2j1=μ2i11+2ji=5×13×31

∵ji0,則1+2ji必為不小于3的奇數(shù),

∵2i1為偶數(shù)時(shí),上式不成立,因此必有2i1=1,∴i=1,

∴μ1+2j1=5×13×31

只有j=3,μ=403j=7,μ=31時(shí),上式才成立,

∴μ=31403

3)解:當(dāng)n≥1時(shí),集合Bn={x|3μ2n1x3μ2n,x∈A},

3μ2n1μ2i1+2j1)<3μ2n,1≤ij,i,j∈N*Bn中元素個(gè)數(shù),

等價(jià)于滿足3×2n2i+2j3×2n+1的不同解(ij),

jn+2,則2i+2j≥2i+2n+3=2i+4×2n+13×2n+1,矛盾.

jn+2,則2i+2j≤2i+2n+1≤2n+2n+1=3×2n,矛盾.

∴j=n+2,又21+2n+2)﹣3×2n=2+4×2n3×2n=2+2n0,

∴3×2n21+2n+222+2n+22n+1+2n+2=3×2n+1,

i=1,2,n時(shí),共有n個(gè)不同的解(i,j),即共有n個(gè)不同的x∈Bn,

∴bn=nn∈N*).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)

1)求的單調(diào)區(qū)間;

2)設(shè),且有兩個(gè)極值點(diǎn)其中,求的最小值;

3)證明:nN*,n≥2).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為,(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2sinθ,

1)求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程;

2)直線lx軸交于點(diǎn)P,與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求|PA|+|PB|的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】祖暅原理冪勢(shì)既同,則積不容異中的指面積,勢(shì)即是高,意思是:若兩個(gè)等高的幾何體在所有等高處的水平截面的面積恒等,則這兩幾何體的體積相等.設(shè)夾在兩個(gè)平行平面之間的幾何體的體積分別為,它們被平行于這兩個(gè)平面的任意平面截得的兩個(gè)截面面積分別為,則恒成立的(

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)設(shè)θ[0,π],且fθ1,求θ的值;

2)在ABC中,AB1,fC1,且ABC的面積為,求sinA+sinB的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)軸正半軸上,圓心在直線上的圓軸相切,且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于,與交于,求證:

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知點(diǎn)在離心率為的橢圓上,則該橢圓的內(nèi)接八邊形面積的最大值為_____

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,由每班隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,若一班有名學(xué)生,將每一學(xué)生編號(hào)從,請(qǐng)從隨機(jī)數(shù)表的第行第列(下表為隨機(jī)數(shù)表的前行)開(kāi)始,依次向右,直到取足樣本,則第五個(gè)編號(hào)為_________.

7816

6514

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

7816

6514

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=xax+(a1),。

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)證明:若,則對(duì)任意x,x,xx,有

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案