Question

將半徑為72cm的扇形OAB剪去小扇形OCD，余下扇環(huán)ABCD的面積為648πcm²．將這個扇環(huán)圍成一個圓臺，若圓臺的下底與上底半徑之差是6cm．求圓臺的高．

Answer 1

考點：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：設扇形的圓心角是α弧度，扇形OCD的半徑為R₁，圓臺上底面半徑為r₁，下底面半徑為r₂，高為h．根據(jù)弧長公式和扇形面積公式得到關于α和R₁的方程組，解之可得α=

π

3

且R₁=36cm，由此算出r₁、r₂，從而可求圓臺的高h．

解答： 解：根據(jù)題意，設扇形的圓心角是α弧度，扇形OCD的半徑為R₁，
扇形OAB的半徑為R₂=72，圓臺上底面半徑為r₁，下底面半徑為r₂，圓臺高為h，
∵扇形OAB的面積S₂=

1

2

αR₂²=

1

2

α•72²，扇形OCD的面積S₁=

1

2

αR₁²
∴S₂-S₁=

1

2

α（72²-R₁²）=648πcm²，可得

1

2

α（72+R₁）（72-R₁）=648πcm²，①，
∵弧AB=αR₂=72α=2π•r₂，弧CD=αR₁=2πr₁，r₂-r₁=6
∴r₂=

36α

π

，r₁=

R1α

2π

，可得

72α-R1α

2π

=6，整理得

1

2

α（72-R₁）=6π，②，
將（2）代入（1），得6π•（72+R₁）=648πcm²，解得R₁=36cm
代入（2），得α=

π

3

，
從而得到r₁=6，r₂=12，圓臺母線長為R₂-R₁=72-36=36
∴圓臺高h=

362-(12-6)2

=6

35

點評：本題給出圓側面展開的扇環(huán)的數(shù)據(jù)，著重考查了弧長公式、扇形面積公式和圓臺的側面積等知識．