Question

已知函數(shù)f（x）=|lnx|-1．
（1）當(dāng)x＞0時，解不等式x（x+

1

2

）≤

1

e2

．
（2）當(dāng)x∈[t，t+

1

2

]（0＜t＜

1

e

），求函數(shù)g（x）=|f（x）|的最大值；
（3）當(dāng)x＞e時，有f（x）＜x²-（k+2e）x+e²+ke恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．（注：e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

考點：絕對值不等式,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)x＞0時，不等式等價于 x²+

1

2

x-

1

e2

≤0，再根據(jù) x＞0，可得不等式的解集．
（2）當(dāng)x∈[t，t+

1

2

]（0＜t＜

1

e

），畫出函數(shù)g（x）=|f（x）|的圖象，數(shù)形結(jié)合可得g（x）的最值．
（3）當(dāng)x＞e時，由題意可得 x²-（k+2e）x+e²+ke-lnx+1＞0恒成立，即k＜

(x-e)2+1-lnx

x-e

=
（x-e）-

lnx-1

x-e

恒成立．令h（x）=（x-e）-

lnx-1

x-e

，利用單調(diào)性求得 h（x）＞-

1

e

，可得k的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)x＞0時，不等式x（x+

1

2

）≤

1

e2

，
等價于 x²+

1

2

x-

1

e2

≤0，
解得-

1

4

-

1 16 + 1 e2

≤x≤-

1

4

+

1 16 + 1 e2

．
再根據(jù) x＞0，可得不等式的解集為
{x|0＜x≤-

1

4

+

1 16 + 1 e2

}．
（2）當(dāng)x∈[t，t+

1

2

]（0＜t＜

1

e

），
畫出函數(shù)g（x）=|f（x）|的圖象，
如圖所示：顯然函數(shù)g（x）在[t，

1

e

]上是減函數(shù)，
在[

1

e

，t+

1

2

]上是增函數(shù)，
函數(shù)g（x）=|f（x）|在區(qū)間[t，t+

1

2

]的最大值
為 max{g（t），g（t+

1

2

）}．
（3）當(dāng)x＞e時，函數(shù)f（x）=lnx-1，由題意可得 x²-（k+2e）x+e²+ke-lnx+1＞0恒成立．
即k＜

(x-e)2+1-lnx

x-e

=（x-e）-

lnx-1

x-e

 恒成立．
令h（x）=（x-e）-

lnx-1

x-e

，由于函數(shù)h（x）是（e，+∞）上的增函數(shù)，
且

lim

x→e

lnx-1

x-e

=

lim

x→e

1 x

1

=

1

e

，∴h（x）＞h（e）=0-

1

e

，∴k≤-

1

e

，即k的范圍為（-∞，-

1

e

]．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．