Question

已知y=f(x)滿(mǎn)足f(n-1)=f(n)-lga^n-1(n≥2,n∈N)且f(1)=-lga,是否存在實(shí)數(shù)α、β使f(n)=(αn²+βn-1)lga對(duì)任何n∈N^*都成立,證明你的結(jié)論.

Answer 1

解：∵f(n)=f(n-1)+lga^n-1,令n=2,則f(2)=f(1)+lga=-lga+lga=0.

又f(1)=-lga,

∴∴

∴f(n)=(n²n-1)lga.

證明如下:(1)當(dāng)n=1時(shí),顯然成立.

(2)假設(shè)n=k時(shí)成立,即f(k)=(k²k-1)lga,則n=k+1時(shí),f(k+1)=f(k)+lga^k=f(k)+klga= (k²-k-1+k)lga=［(k+1)²(k+1)-1］lga.

∴當(dāng)n=k+1時(shí),等式成立.

綜合(1)(2),可知存在實(shí)數(shù)α、β且α=,β=,使f(n)=(αn²+βn-1)lga對(duì)任意n∈N^*都成立.