Question

已知y=f(x)滿足f(n-1)=f(n)-lga^n-1(n≥2,n∈N)且f(1)=-lga,是否存在實數(shù)α、β使f(n)=(αn²+βn-1)lga對任何n∈N^*都成立，證明你的結(jié)論.

Answer 1

解析：∵f(n)=f(n-1)+lga^n-1,令n=2,則f(2)=f(1)+lga=-lga+lga=0.

又f(1)=-lga,∴

∴f(n)=(n²-n-1)lga.

證明：（1）當(dāng)n=1時，顯然成立.

（2）假設(shè)n=k時成立，即f(k)=(k²-k-1)lga,則n=k+1時，f(k+1)=f(k)+lga^k=f(k)+klga=(k²-k-1+k)lga=［(k+1)²-(k+1)-1］lga.

∴當(dāng)n=k+1時，不等式成立.

綜合（1）、（2），可知存在實數(shù)α、β且α=,β=-,使f(n)=(αn²+βn-1)lga對任意n∈N^*都成立.