Question

已知y=f(x)滿足f(n-1)=f(n)-lga^n-1(n≥2,n∈N)且f(1)=-lga,是否存在實數(shù)α、β使f(n)=(αn²+βn-1)lga對任何n∈N^*都成立?證明你的結(jié)論.

Answer 1

解:∵f(n)=f(n-1)+lga^n-1,令n=2,則f(2)=f(1)+f(a)=-lga+lga=0.

    又f(1)=-lga,∴

    ∴

    ∴f(n)=(n²-n-1)lga.

    證明:(1)當n=1時,顯然成立.

     (2)假設(shè)n=k時成立,即f(k)=(k²-k-1)lga,

    則n=k+1時,f(k+1)=f(k)+lga^k=f(k)+klga=(k²-k-1+k)lga=［(k+1)²- (k+1)-1］lga.

    ∴當n=k+1時,等式成立.

    綜合(1)(2)可知,存在實數(shù)α、β且α=,β=-,使f(n)=(αn²+βn-1)lga對任意n∈N^*都成立.