【題目】已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，離心率為.為橢圓的左頂點(diǎn)，為橢圓上異于的兩個動點(diǎn)，直線與直線分別交于兩點(diǎn).

（I）求橢圓的方程；

（II）若與的面積之比為，求的坐標(biāo)；

（III）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，若三點(diǎn)共線，求證：.

【答案】（I）（II）的坐標(biāo)為或.（III）見解析

【解析】

（Ⅰ）由題意得c＝1，結(jié)合離心率求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（Ⅱ）由△PAF與△PMF的面積之比為，可得．設(shè)M（4，m）（m≠0），P（x0，y0），則，求得．將其代入，解得m＝±9．則M的坐標(biāo)可求；（Ⅲ）設(shè)M（4，m），N（4，n），P（x0，y0），分析可得m≠0，n≠0．直線AM的方程為．聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得P的坐標(biāo)，利用利用對稱性證明若P，F，Q三點(diǎn)共線，則∠MFR＝∠FNR．

（I）由題意得解得

因?yàn)?/span>，所以.

所以橢圓的方程為.

（II）因?yàn)?/span>與的面積之比為，

所以.

所以.

設(shè)，則，

解得.

將其代入，解得.

所以的坐標(biāo)為或.

（III）設(shè)，

若，則為橢圓的右頂點(diǎn)，由三點(diǎn)共線知，為橢圓的左頂點(diǎn)，

不符合題意.

所以.同理.

直線的方程為.

由消去，整理得.

成立.

由，解得.

所以.

所以.

當(dāng)時，，，即直線軸.

由橢圓的對稱性可得.

又因?yàn)?/span>，

所以.

當(dāng)時，，

直線的斜率.

同理.

因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，

所以.

所以.

在和中，

，，

所以.

因?yàn)?/span>均為銳角，

所以.

綜上，若三點(diǎn)共線，則.

練習(xí)冊系列答案
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A.y與x具有正相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線過點(diǎn)

C.若冬季晝夜溫差增加，則該新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)約增加2.5顆

D.若冬季晝夜溫差的大小為，則該新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)一定是22顆

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（1）在平面直角坐標(biāo)系中，寫出所有滿足到原點(diǎn)的“直角距離”為2的“格點(diǎn)”的坐標(biāo).（格點(diǎn)指橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

（2）求到兩定點(diǎn)、的“直角距離”和為定值的動點(diǎn)軌跡方程，并在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出該動點(diǎn)的軌跡.（在以下三個條件中任選一個做答）

①，，；

②，，；

③，，.

（3）寫出同時滿足以下兩個條件的“格點(diǎn)”的坐標(biāo)，并說明理由（格點(diǎn)指橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）.

①到，兩點(diǎn)“直角距離”相等；

②到，兩點(diǎn)“直角距離”和最小.

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