Question

（1）已知函數(shù)g（x）=x²+2x+alnx在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）已知函數(shù)f(x)=ln(ax+1)+

1-x

1+x

(x≥0，a＞0)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求實數(shù)a的取值范圍．
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解導(dǎo)數(shù)不等式即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵g（x）=x²+2x+alnx，故  g′（x）=2x+2+

a

x

．
∵函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，∴在區(qū)間（0，1）內(nèi)，
g′（x）=2x+2+

a

x

=

2x2+2x+a

x

≤0恒成立，
∴a≤-（2x²+2x）在（0，1）上恒成立．
∵-（2x²+2x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴a≤-4為所求．
（2）∵f′(x)=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

，
∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0，
①當(dāng)a≥2時，在區(qū)間（0，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），
②當(dāng)0＜a＜2時，由f′（x）＞0，解得x＞

2-a a

，由f′（x）＜0，解得x＜

2-a a

，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，

2-a a

），單調(diào)增區(qū)間為（

2-a a

，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運算能力．