Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+ax．
（Ⅰ）當a=2時，解關(guān)于x的不等式f（x）≥|x-2|；
（Ⅱ）若f（x）≥x-

1

2

在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當a=2時，關(guān)于x的不等式即|2x-1|-|x-2|+2x≥0，轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由題意可得函數(shù)h（x）=|2x-1|+

1

2

的圖象應(yīng)該在直線y=（1-a）x的上方或重合，可得0≤1-a≤2，或-2≤1-a＜0，由此求得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=2時，關(guān)于x的不等式f（x）≥|x-2|即|2x-1|+2x≥|x-2|，
即|2x-1|-|x-2|+2x≥0．
∴

x≥2 2x-1-(x-2)+2x≥0

①，或

1 2 ≤x＜2 2x-1-(2-x)+2x≥0

②，或 

x＜ 1 2 1-2x-(2-x)+2x≥0

．
解①求得x≥2，解②求得

3

5

≤x＜2，解③求得x∈∅．
綜上可得，不等式的解集為[

3

5

，+∞）．
（Ⅱ）若f（x）≥x-

1

2

在R上恒成立，即|2x-1|+ax≥x-

1

2

在R上恒成立，
即|2x-1|+

1

2

≥（1-a）x．
故函數(shù)h（x）=|2x-1|+

1

2

的圖象應(yīng)該在直線y=（1-a）x的上方或重合．
如圖所示：∴0≤1-a≤2，或-2≤1-a＜0，解得-1≤a≤1，或 1＜a≤3，
即a的范圍是[-1，3]．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，很熟的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．