Question

15．證明不等式|arctana-arctanb|≤|a-b|．

Answer 1

分析 原不等式可等價為：arctana-a≤arctanb-b，只需構(gòu)造函數(shù)f（x）=arctanx-x，再運用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式．

解答 證明：∵正切函數(shù)y=tanx在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，
∴其反函數(shù)y=arctanx在R上也單調(diào)遞增，
不妨設，a≥b，原不等式可化為：arctana-arctanb≤a-b，
因此，原不等式等價為：arctana-a≤arctanb-b，-----①
要證不等式①成立，只需構(gòu)造函數(shù)，f（x）=arctanx-x，x∈R，
f'（x）=$\frac{1}{1+x^2}$-1=-$\frac{x^2}{1+x^2}$≤0恒成立，
所以，f（x）在R上單調(diào)遞減，
由于a≥b，所以f（a）≤f（b），
即arctana-a≤arctanb-b，
所以，|arctana-arctanb|≤|a-b|．
說明：本題也可以利用“拉格朗日中值定理”證明．

點評 本題主要考查了運用導數(shù)證明不等式，涉及正切，反正切函數(shù)的性質(zhì)，導數(shù)的運算，以及函數(shù)單調(diào)性的確定，屬于中檔題．