Question

16．已知A（-5，0），B（5，0），直線AM、BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是$\frac{4}{9}$，試求點(diǎn)M的軌跡方程，并由點(diǎn)M的軌跡方程判斷軌跡的形狀．

Answer 1

分析 設(shè)出交點(diǎn)M的坐標(biāo)，寫出兩直線的斜率，直接由斜率之積是$\frac{4}{9}$，列式化簡(jiǎn)．

解答 解：設(shè)M（x，y），則
AM斜率k₁=$\frac{y}{x+5}$，BM斜率k₂=$\frac{y}{x-5}$．
∵斜率之積是$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{y}{x+5}$•$\frac{y}{x-5}$=$\frac{4}{9}$（x≠±5），
化簡(jiǎn)整理得化簡(jiǎn)，得4x²-9y²=100（x≠±5）
∴M的軌跡是以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去實(shí)軸兩個(gè)端點(diǎn)）．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查軌跡方程的求解，解題的關(guān)鍵是正確表示出直線AM、BM的斜率，利用條件建立方程．