【題目】已知函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),).
(1)若僅有一個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍;
(2)證明:當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),且.
【答案】(1);(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析.
【解析】
試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),轉(zhuǎn)化不等式,再通過(guò)與的大小討論即可求的取值范圍;(2)通過(guò)的范圍及的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即可確定函數(shù)恒成立的條件,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法,轉(zhuǎn)化成利用導(dǎo)函數(shù)求恒成立問(wèn)題.
試題解析:(1),
由得到或 (*)
由于僅有一個(gè)極值點(diǎn),
關(guān)于的方程(*)必?zé)o解,
①當(dāng)時(shí),(*)無(wú)解,符合題意,
②當(dāng)時(shí),由(*)得,故由得,
由于這兩種情況都有,當(dāng)時(shí),,于是為減函數(shù),當(dāng)時(shí),,于是為增函數(shù),∴僅為的極值點(diǎn),綜上可得的取值范圍是;
(2)由(1)當(dāng)時(shí),為的極小值點(diǎn),
又∵對(duì)于恒成立,
對(duì)于恒成立,
對(duì)于恒成立,
∴當(dāng)時(shí),有一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)時(shí),有另一個(gè)零點(diǎn),
即,
且,(#)
所以,
下面再證明,即證,
由得,
由于為減函數(shù),
于是只需證明,
也就是證明,
,
借助(#)代換可得,
令,
則,
∵為的減函數(shù),且,
∴在恒成立,
于是為的減函數(shù),即,
∴,這就證明了,綜上所述,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0),右焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),方程ax2+bx-c=0的兩實(shí)根分別為x1,x2,則P(x1,x2)( )
A.必在圓x2+y2=2內(nèi)
B.必在圓x2+y2=2外
C.必在圓x2+y2=1外
D.必在圓x2+y2=1與圓x2+y2=2形成的圓環(huán)之間
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市決定在其經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)一塊區(qū)域進(jìn)行商業(yè)地產(chǎn)開(kāi)發(fā),截止2015年底共投資百萬(wàn)元用于餐飲業(yè)和服裝業(yè),2016年初正式營(yíng)業(yè),經(jīng)過(guò)專業(yè)經(jīng)濟(jì)師預(yù)算,從2016年初至2019年底的四年間,在餐飲業(yè)利潤(rùn)為該業(yè)務(wù)投資額的,在服裝業(yè)可獲利該業(yè)務(wù)投資額的算術(shù)平方根.
(1)該市投資資金應(yīng)如何分配,才能使這四年總的預(yù)期利潤(rùn)最大?
(2)假設(shè)自2017年起,該市決定對(duì)所投資的區(qū)域設(shè)施進(jìn)行維護(hù)保養(yǎng),同時(shí)發(fā)放員工獎(jiǎng)金,方案如下:2017年維護(hù)保養(yǎng)費(fèi)用百萬(wàn)元,以后每年比上一年增加百萬(wàn)元;2017年發(fā)放員工獎(jiǎng)金共計(jì)百萬(wàn)元,以后每年的獎(jiǎng)金比上一年增加.若該市投資成功的標(biāo)準(zhǔn)是:從2016年初到2019的底,這四年總的預(yù)期利潤(rùn)中值(預(yù)期最大利潤(rùn)與最小利潤(rùn)的平均數(shù))不低于總投資額的,問(wèn)該市投資是否成功?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】天水市第一次聯(lián)考后,某校對(duì)甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行分析,
規(guī)定:大于或等于120分為優(yōu)秀,120分以下為非優(yōu)秀.統(tǒng)計(jì)成績(jī)后,
得到如下的列聯(lián)表,且已知在甲、乙兩個(gè)文科班全部110人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為.
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計(jì) | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合計(jì) | 110 |
(1)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表;
(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),若按99.9%的可靠性要求,能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”;
(3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人:把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進(jìn)行編號(hào),先后兩次拋擲一枚均勻的骰子,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的序號(hào)。試求抽到9號(hào)或10號(hào)的概率。
參考公式與臨界值表:。
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C:(x-1)2+y2=1.直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(m,0),且傾斜角為,以O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(1)寫(xiě)出曲線C的極坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程;
(2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),且|PA|·|PB|=1,求實(shí)數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=loga (其中a>0,且a≠1).
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并給出證明;
(3)若x∈時(shí),函數(shù)f(x)的值域是[0,1],求實(shí)數(shù)a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表:
年齡(歲) | 19 | 24 | 26 | 30 | 34 | 35 | 40 | 合計(jì) |
工人數(shù)(人) | 1 | 3 | 3 | 5 | 4 | 3 | 1 | 20 |
(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與平均數(shù);
(2)以十位數(shù)為莖,個(gè)位數(shù)為葉,作出這20名工人年齡的莖葉圖;
(3)從年齡在24和26的工人中隨機(jī)抽取2人,求這2人均是24歲的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】三棱錐中, , △是斜邊的等腰直角三角形, 以下結(jié)論中: ① 異面直線與所成的角為;② 直線平面;③ 面面;④ 點(diǎn)到平面的距離是. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ____________________ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過(guò)點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.
(1)求a,b,c,d的值;
(2)若x≥-2時(shí),恒有f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.
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