Question

已知數列{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n+1是關于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的兩根，且a₁=1.

(1)求數列{ a_n}和{b_n}的通項公式；

(2)設S_n是數列{a_n}的前n項的和，問是否存在常數λ，使得b_n－λS_n>0對任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)證法1：∵a_n，a_n+1是關于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的兩根，

∴                                       

由a_n+a_n+1=2ⁿ，得，故數列

是首項為，公比為－1的等比數列.                

證法2：∵a_n，a_n+1是關于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的兩根，

∴                                   

∵，

故數列是首項為，公比為－1的等比數列.             

  

(2)解：由(1)得，即，

∴

                          

∴S_n=a₁+ a₂+ a₃+…+ a_n=[(2+2²+2³+…+2ⁿ)－[(－1)+ (－1)²+…+(－1)ⁿ]

，                 

要使得b_n－λS_n>0對任意n∈N^*都成立，

即對任意n∈N*都成立.

①當n為正奇數時，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ⁺¹－1>0，∴對任意正奇數n都成立.

當且僅當n=1時，有最小值1，∴λ<1.       

①當n為正奇數時，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ⁺¹－1>0，∴對任意正奇數n都成立.

當且僅當n=1時，有最小值1，∴λ<1.      

②當n為正偶數時，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ－1>0，∴對任意正偶數n都成立.

當且僅當n=2時，有最小值1.5，∴λ<1.5.      

綜上所述，存在常數λ，使得b_n－λS_n>0對任意n∈N^*都成立，λ的取值范圍是(－∞，1).