Question

已知點F（-

3

，0）（c＞0）是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦點，過F且平行于雙曲線漸近線與拋物線y=

x2

6

+

3

2

相切，則該雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

3-a2

=1，雙曲線的漸近線方程為y=±

3-a2

a

x，由已知條件推導出方程±

3-a2

a

(x+

3

)=

x2

6

+

3

2

只有一個解，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：∵點F（-

3

，0）（c＞0）是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦點，
∴設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

3-a2

=1，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±

3-a2

a

x，
∴過F且平行于雙曲線漸近線的直線方程為y=±

3-a2

a

（x+

3

），
∵過F且平行于雙曲線漸近線的直線與拋物線y=

x2

6

+

3

2

相切，
∴方程±

3-a2

a

(x+

3

)=

x2

6

+

3

2

只有一個解，
整理，得

x2

6

-

3-a2

a

x+

3

2

-

9-3a2

a

=0或

x2

6

+

3-a2

a

x+

3

2

+

9-3a2

a

=0，
∴△=

3-a2

a2

-

2

3

（

3

2

-

9-3a2

a

）=0或△=

3-a2

a2

-

2

3

（

3

2

+

9-3a2

a

）=0，
解得a²=

9

2

（舍），a²=

3

4

，a=

3

2

，e=2．
故答案為：2．

點評：本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．