Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）上點T（3，t）到焦點F的距離為4．
（Ⅰ）求t，p的值；
（Ⅱ）設(shè)A、B是拋物線上分別位于x軸兩側(cè)的兩個動點，且

OA

•

OB

=5（其中O為坐標原點）．
（ⅰ）求證：直線AB必過定點，并求出該定點P的坐標；
（ⅱ）過點P作AB的垂線與拋物線交于C、D兩點，求四邊形ACBD面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用拋物線y²=2px （p＞0）上點T（3，t）到焦點F的距離為4，根據(jù)拋物線的定義，可求t，p的值；
（Ⅱ）（�。┰O(shè)直線AB的方程為x=my+t，代入拋物線方程，利用韋達定理，結(jié)合

OA

•

OB

=5，可求t的值，即可求出該定點P的坐標；
（ⅱ）表示出四邊形ACBD面積，令m2+

1

m2

=μ(μ≥2)，則S=8

5μ2+36μ+52

是關(guān)于μ的增函數(shù)，即可求出四邊形ACBD面積的最小值．

解答： （Ⅰ）解：由已知得3+

p

2

=4⇒p=2，
所以拋物線方程為y²=4x，
代入可解得t=±2

3

．…（4分）
（Ⅱ）（�。┳C明：設(shè)直線AB的方程為x=my+t，A(

y 2 1

4

，y1)、B(

y 2 2

4

，y2)，
聯(lián)立

y2=4x x=my+t

得y²-4my-4t=0，則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4t．…（6分）
由

OA

•

OB

=5得：

(y1y2)2

16

+y1y2=5⇒y1y2=-20或y₁y₂=4（舍去），
即-4t=-20⇒t=5，所以直線AB過定點P（5，0）；…（10分）
（ⅱ）解：由（ⅰ）得|AB|=

1+m2

|y2-y1|=

1+m2

16m2+80

，
同理得|CD|=

1+(- 1 m )2

|y2-y1|=

1+ 1 m2

16 m2 +80

，
則四邊形ACBD面積S=

1

2

|AB|•|CD|=

1

2

1+m2

16m2+80

•

1+ 1 m2

16 m2 +80

=8

(2+(m2+ 1 m2 ))•(26+5(m2+ 1 m2 ))

令m2+

1

m2

=μ(μ≥2)，則S=8

5μ2+36μ+52

是關(guān)于μ的增函數(shù)，
故S_min=96．當且僅當m=±1時取到最小值96．…（15分）

點評：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計算，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．