Question

若函數(shù)f（x）=x²-（m+2）x+m+5在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個零點，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：若若函數(shù)f（x）=x²-（m+2）x+m+5在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個零點，則x²-（m+2）x+m+5=0在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個根，結(jié)合零點存在定理，分△=0和△＞0兩種情況討論滿足條件的實數(shù)m的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：若函數(shù)f（x）=x²-（m+2）x+m+5在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個零點，
則x²-（m+2）x+m+5=0在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個根，
當△=（m+2）²-4（m+5）=m²-16=0時，m=±4
當m=-4時，x²-（m+2）x+m+5=0可化為x²+2x+1=0，此時方程的根-1∉（2，4）
當m=4時，x²-（m+2）x+m+5=0可化為x²-6x+9=0，此時方程的根3∈（2，4）
當△=（m+2）²-4（m+5）=m²-16＞0時，m∈（-∞，-4）∪（4，+∞）
若函數(shù)f（x）=x²-（m+2）x+m+5在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個零點，
則f（2）•f（4）=（-m+5）（-3m+13）＜0，
解得

13

3

≤m＜5
∴

13

3

≤m＜5
綜上所述若函數(shù)f（x）=x²-（m+2）x+m+5在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個零點，則實數(shù)m的取值范圍是

13

3

≤m＜5或m=4
故答案為：

13

3

≤m＜5或m=4

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的零點，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是函數(shù)和方程的綜合應用，難度中檔．